组合与组合数公式

高中数学学习过程中，我们会接触到排比组合的学习。对于组合这部分知识的学习，我们学大数学教师认为最简便的方法就是掌握基础公式。下面就为大家详细整理出来了，组合与组合数公式，希望对你带来帮助。

组合数公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.

组合数公式有时候也表示成：

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)

性质

c(n,m)=c(n,n-m);

递推公式

c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)

等式左边表示从n个元素中选取m个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择n中的某个备选元素为特殊元素，从n中选m个元素可以由此特殊元素的分成两类情况，即m个被选择元素包含了特殊元素和m个被选择元素不包含该特殊元素。

2技巧举例编辑有朋友给出了两道题：

1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差?

2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E(X)、D(X)。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。

先定义一个符号，用S(K=1，N)F(K)表示函数F(K)从K=1到K=N求和。

公式1：

C(M-1，N-1)+C(M-1，N)=C(M，N)

公式1 证明：

方法1、可直接利用组合数的公式证明。

方法2、(更重要的思路)。

从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中，包含这一个元素的有C(M-1，N-1)种组合，不包含这一个元素的有C(M-1，N)种组合。

因此，C(M-1，N-1)+C(M-1，N)=C(M，N)

公式2：

S(K=N，M)C(K-1，N-1)=C(M，N) (M》=N)

证明：C(M，N)是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。

则选出N个的方法可分类为：

包含1号的有C(M-1，N-1)种;

不包含1号，但包含2号的有C(M-2，N-1)种;

。。。。。。

不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C(K-1，N-1)种

。。。。。。

不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C(N，N-1)种不包含1到M-N号的有C(N，N)种，而C(N，N)=C(N-1，N-1)

由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此

S(K=N，M)C(K-1，N-1)=C(M，N)

公式3：

S(K=0，N)C(P，K)*C(Q，N-K)=C(P+Q，N) (P，Q)=N)

证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C(P+Q，N)。而公式里面的K表示选法中正品数量，

C(P，K)*C(Q，N-K)表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。

因此，S(K=0，N)C(P，K)*C(Q，N-K)=C(P+Q，N)

公式4(一种变换技巧)：

S(K=0，N)K*C(M，K)=S(K=0，N-1)M*C(M-1，K)

证明：

S(K=0，N)K*C(M，K)

=S(K=1，N)K*C(M，K)

=S(K=1，N)K*M!/K!/(M-K)!

=S(K=1，N)M*(M-1)!/(K-1)!/(M-K)!

=S(K=1，N)M*C(M-1，K-1)

=S(K=0，N-1)M*C(M-1，K)

公式5(公式4的同种)

S(K=0，N)K*(K-1)*C(M，K)

=S(K=0，N-2)M*(M-1)*C(M-2，K)

证明：(类似上式)

S(K=0，N)K*(K-1)*C(M，K)

=S(K=2，N)K*(K-1)*M!/K!/(M-K)!

=S(K=2，N)M*(M-1)*(M-2)!/(K-2)!/(M-K)!

=S(K=2，N)M*(M-1)*C(M-2，K-2)

=S(K=0，N-2)M*(M-1)*C(M-2，K)

公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。

例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差?

解：(本题利用公式3、4、5)

有K件次品的概率为：

P(K)=C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

E(X)

=S(K=0，150)K*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

=S(K=0，149)1000*C(999，K)*(14000，149-K)/C(15000，150)

=1000*C(14999，149)/C(15000，150)

=10

D(X)

=S(K=0，150)(K-10)*(K-10)*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

=S(K=0，150)(K*K-K-19*K+100)*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

=S(K=0，150)K*(K-1)*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

-19*S(K=0，150)K*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

+100*S(K=0，150)C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

=S(K=0，148)1000*999*C(998，K)*C(14000，148-K)/C(15000，150)

-19*S(K=0，149)*1000*C(999，K)*C(14000，149-K)/C(15000，150)

+100*S(K=0，150)C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)

=1000*999*C(14998，148)/C(15000，150)

-19*1000*C(14999，149)/C(15000，150)+100

=138600/14999

=9.240616041

此题推广形式为：

设M件产品中有P件次品，从中拿出N件(N《=P)，求得到次品数的期望和方差?

E(X)=P*N/M

D(X)=P*(P-1)*C(M-2，N-2)/C(M，N)

+(1-2*P*N/M)*P*C(M-2，N-2)/C(M，N)+(P*N/M)^2

例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E(X)、D(X)。

解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K次射中了，概率为：

P(K)=C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

(以下暂时用W表示无穷大)

射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次

因此S(K=R，W)P(K)=1 (这是概率的特点)

即：S(K=R，W)C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=1

以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。

E(X)

=S(K=R，W)K*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R，W)K*(K-1)!/(R-1)!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R，W)R*K!/R!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R，W)R*C(K，R)*P^R*(1-P)^(K-R)

=R/P*S(K=R，W)C(K，R)*P^(R+1)*(1-P)^(K-R)

令K1=K+1，R1=R+1，则

E(X)=R/P*S(K1=R1，W)C(K1-1，R1-1)*P^R1*(1-P)^(K1-R1)

利用以上公式得

E(X)=P/R

D(X)

=S(K=R，W)(K-R/P)^2*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R，W)(K*K-2*K*R/P+R*R/P/P)*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R，W)[K*(K+1)-(K+2*K*R/P)+R*R/P/P]*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R，W)[K*(K+1)*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

-S(K=R，W)(K+2*K*R/P)*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

+S(K=R，W)R*R/P/P*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=(推导过程同求E(X)，略)

=R(R+1)/P/P-(2*R+P)*R/P/P+R*R/P/P

=(1-P)*R/P/P

组合与组合数公式我们已经在上面文章中，为大家进行了整理分析。另外忠告大家利用这些公式的前提，就是掌握如何在题目中熟练运用，因此希望你认真总结我们为大家带来的例子。