高二数学基本不等式的应用

进入高中以后，我们会对于之前在数学上学习过的不等式这一部分进行继续学习，同学们在高中学习这一部分知识点的时候不仅要懂得如何去计算，还要去了解他们的应用，这里一起来看看高二数学基本不等式的应用。

从容说课

通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在本大节中是起承上启下作用.在本节课的研究中，将由基本不等式推导出许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美.从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程.

根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题.

教学重点 1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式;

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达;

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.

教学难点 1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式;

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达;

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.

教具准备

投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式;

2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路;

3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式 来尝试证明一些简单的不等式.

(此时，老师用投影仪给出下列问题)

推进新课

问题1.已知x、y都是正数，求证：

(1);

(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢?

(思考两分钟)

生 不可以证明.

师 是否可以用基本不等式证明呢?

生 可以.

(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)

解：∵x、y都是正数，∴，.∴，即.

师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗?

(齐声：完成)

[合作探究]

师 请同学继续思考第二小问该如何证明?它是否能用一次基本不等式就能证明呢?

(引导同学们积极思考)

生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.

师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.

生 ∵x，y都是正数，∴x2>0，y2>0，x3>0，y3>0.∴x+y≥2>0，x2+y2≥2x2y2>0, x3+y3≥2x3y3>0.∴可得(x+y)(x 2+y2)(x3+y3)≥2xy·2·2=8x3y3，即(x+y)(x2+y 2)(x 3+y3)≥8x 3y3. 

师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.

(在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视)

师 在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.

(此时，老师用投影仪给出下列问题)

问题3.求证：.

(此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生)

师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2+b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键. 

(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)

解：∵a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴2(a 2+b2)≥(a+b)2.

不等式两边同除以4，得≥，即.

师 下面同学都是用这种思路解答的吗?

生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.

师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.

[课堂练习]

1.已知a、b、c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

分析：对于此类题目，选择定理：(a>0，b>0)灵活变形，可求得结果.

∵a、b、c都是正数，

∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0.

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,

即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

[合作探究]

2.已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx)，求证：.

(老师先分析，再让学生完成)

师 本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a+b≥2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.

(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)

生 ∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx),

∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx.

∴ax-ay+by-bx>0.

∴(ax-bx)-(ay-by)>0.

∴(a-b)(x-y)>0,

即a-b与x-y同号.

∴均为正数.

∴ (当且仅当时取“=”).

∴.

师生共析 我们在运用重要不等式a 2+b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.

课堂小结

师 本节课我们研究了什么问题?同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢?

生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.(教师提出对重要、常用不等式的掌握要求)

师 本节课我们用到重要不等式a 2+b 2≥2ab;两正数a、b的算术平均数()，几何平均数(ab)及它们的关系证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：，.

师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.

布置作业

课本第116页，B组第1题.

板书设计

基本不等式的应用(一)

复习引入　　　　　　　　例1　　　　　　　　　　　　方法归纳

基本不等式 例2

方法引导 小结

实例剖析(知识方法应用)

示范解题 备课资料

备用习题

1.已知a、b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2.

证明:∵a、b∈R+,

(a3+b3)-(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

=(a+b)(a-b)2≥0，

∴a3+b3≥a2b+ab2.

2.已知A+B+C=π，求证：x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA.

分析:“取差问号”的比较法，关键在于取差(左式-右式)后，怎么判断符号.这里可把差式看作关于x(关于y或关于z也可以)的二次三项式.

证明:左式-右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2yzcosA

=x2-2(ycosC-zcosB)x+y2+z2-2yzcosA

=[x-(ycosC+zcosB)]2+y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2.

又y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2

=y2+z2-2yzcosA-y2cos2C-z2cos2B-2yzcosBcosC

=y2sin2C+z2sin2B-2yz(cosA+cosBcosC)，由于A+B+C=π,

故cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC.

∴左式-右式=[x-(ycosC+zcosB)]2+y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=[x-(ycosC+zcosB)]2+(ysinC-zsinB)2≥0.

∴左式≥右式.

点评:二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正，证明它的判别式Δ≤0来进行.

所以说同学们不要认为学习数学都需要去计算，希望同学们可以好好看一看我们文中给大家列举的这些有关于高二数学基本不等式的应用的知识点。